Dlaczego geometrię opisuje się często jako „zimną” lub „suchą”? Jednym z powodów jest jej niezdolność do opisania chmury, góry, linii wybrzeża czy drzewa. Chmury nie są kulami, a góry stożkami, wybrzeże to nie okrąg, gałąź nie jest gładka, piorun zaś nie przebiega po linii prostej.

Ogólnie rzecz ujmując, twierdzę, że wiele wzorców, które odnajdujemy w przyrodzie, jest tak nieregularnych i fragmentarycznych, że w porównaniu z Euklidesem – za pomocą tego terminu odnoszę się tutaj do standardowej geometrii – przyroda przejawia nie tylko wyższy, ale przede wszystkim zupełnie inny poziom złożoności. Liczba różnych skali i rozmiarów naturalnych wzorów jest z praktycznych powodów nieskończona.

Istnienie tych wzorów stanowi dla nas wezwanie do studiowania form, które Euklides zostawia z boku, uznając je za „bezforemne”, do badania morfologii właśnie tego, co „amorficzne”. Matematycy lekceważyli dotąd to wyzwanie i stopniowo dokonywali wyboru odwrócenia się od przyrody, tworząc teorie niezwiązane z tym, co możemy zobaczyć lub poczuć.

Odpowiadając na to wyzwanie, stworzyłem i rozwinąłem nową geometrię i zastosowałem ją w pewnej liczbie różnych dziedzin. Opisuje ona wiele spośród nieregularnych i sfragmentaryzowanych wzorców wokół nas i prowadzi do w pełni rozwiniętych teorii poprzez zidentyfikowanie rodziny kształtów, które określam mianem fraktali. Najbardziej przydatne fraktale wiążą się z przypadkiem, a ich regularności i nieregularności mają podłoże statystyczne. Ponadto kształty opisane tutaj mają możliwość skalowania, co oznacza, że stopień ich nieregularności i/lub fragmentaryzacji jest taki sam w każdej skali. Pojęcie fraktalnego wymiaru odgrywa w niniejszej koncepcji rolę kluczową.

Niektóre zbiory fraktali są krzywiznami lub powierzchniami, inne są niepowiązanymi z sobą „pyłkami”, inne z kolei są tak dziwnie ukształtowane, że zarówno na gruncie nauki, jak i sztuki nie da się znaleźć określeń, które pozwalałyby je opisać.

„FRAKTAL” I INNE NEOLOGIZMY

Łacińskie powiedzenie głosi: nazywać znaczy poznać – nomen est numen. Dopóki nie zająłem się tymi zbiorami, nie były one na tyle ważne, aby wymagały odrębnego terminu, który by się do nich odnosił. W miarę jednak jak klasyczne monstra były w toku moich działań pozbawiane kłów i ujarzmiane, a na ich miejsce pojawiały się nowe, oczywista stała się potrzeba wynalezienia dla nich nazwy. Stała się ona wręcz paląca, kiedy poprzednik niniejszego studium musiał zostać zatytułowany.

Termin „fraktal” ukułem na podstawie łacińskiego przymiotnika fractus. Związany z nim łaciński czasownik frangere znaczy „łamać”, czyli tworzyć nieregularne fragmenty. Wydaje się zatem czymś sensownym – i jakże odpowiednim dla naszych potrzeb! – że poza „sfragmentaryzowanym” (jak we „frakcji” czy „refrakcji”), fractus oznacza również „nieregularny”, które to oba znaczenia zachowane są w wyrazie „fragment”.

Prawidłowa wymowa to „frak’tal”, a akcent pada jak w wyrazie „frak’cja”.

Wyrażenie „zbiór fraktalny” zostanie ściśle zdefiniowane w dalszej części pracy, natomiast wyrażenie „fraktal naturalny” będzie mi służyć do luźnego odwoływania się do naturalnych wzorów, które można reprezentować za pomocą zbioru fraktalnego. Dla przykładu: krzywe Browna są zbiorami fraktali, a fizyczne ruchy Browna są fraktalem naturalnym.

(Ponieważ słowo „algebra” wywodzi się z arabskiego dżabara, co znaczy „wiązać z sobą”, oznacza to, że „fraktal” i „algebra” stanowią dla siebie etymologiczne przeciwieństwa!)

Bardziej ogólnie rzecz ujmując, w moich podróżach przez nowo otwarte i nowo wyznaczone terytorium musiałem często korzystać z prawa nadawania nazw punktom orientacyjnym. Zazwyczaj lepszym rozwiązaniem wydawało się uważne tworzenie neologizmu niż dodawanie nowego smaczku do (nad-­)używanego i już istniejącego terminu.

Należy przy tym pamiętać, że potoczne znaczenie danego słowa jest często tak mocno osadzone, że nie da się go wyrugować nawet przez usilne próby redefinicji. Jak zauważył Wolter w roku 1730, „gdyby Newton nie użył słowa «atrakcja», wszyscy członkowie Akademii [Francuskiej] otworzyliby szeroko oczy, jednak niestety użył w Londynie takiego słowa, które Paryż wiązał ze śmiesznością”. To właśnie dlatego przerażające wydają się zdania takie jak „prawdopodobieństwo dystrybucji według teorii dystrybucji Schwartza jest przestrzennie względne w stosunku do dystrybucji galaktyk”.

Terminy zaproponowane w tym opracowaniu pozwalają uniknąć tego problemu dzięki wykorzystaniu zapomnianych łacińskich lub greckich rdzeni, na przykład trema, i rzadko zapożyczanych solidnych słów odnoszących się do takich dziedzin, jak sklep, dom czy gospodarstwo wiejskie. Domowe nazwy sprawiają, że monstra stają się łatwiejsze do poskromienia! Na przykład: nadaję techniczne znaczenie „pyłowi” (dust), „zsiadłemu mleku” (curd) i „serwatce” (whey), opowiadam się również za „wykafelkowaniem” (pertiling) jako całkowitej, dokonanej („wy-­”/„per-­”) formie „kafelkowania”.

„Wszelkie piękno jest względne […]. Nie powinniśmy […] wierzyć, że brzegi oceanu są rzeczywiście zdeformowane, ponieważ nie mają kształtu regularnego bulwaru; ani że chmury są bezkształtne, ponieważ nie mają precyzyjnej formy piramid czy stożków; ani że gwiazdy zostały umieszczone w sposób nieumiejętny, ponieważ nie znajdują się wszystkie w równej odległości od siebie. Nie są to nieregularności naturalne, tylko wynik naszych upodobań; nie są również niewygodne do użytku w życiu, ani nie stanowią rezultatu projektowej działalności człowieka na ziemi”. Ta opinia siedemnastowiecznego uczonego Richarda Bentleya (której echo stanowią słowa otwierające niniejszy szkic) pokazuje, że łączenie z sobą linii wybrzeża, gór i wzorów na niebie i przeciwstawianie ich Euklidesowi jest bardzo starym pomysłem.

OD PIÓRA DO JEANA PERRINA

W dalszej kolejności przysłuchajmy się głosowi nieco mniej odległemu w czasie, a zarazem bliższemu naszej profesji. Aby przejść do nieregularnego czy fragmentaryzowanego charakteru linii brzegowej, trajektorii Browna czy innych wzorów przyrody badanych w niniejszym studium, chciałbym się najpierw odwołać do fragmentów rozprawy Jeana Perrina z 1906 roku. Późniejsza praca Perrina na temat ruchów Browna zapewniła mu Nagrodę Nobla i przyczyniła się do rozwoju teorii prawdopodobieństwa. Tutaj jednak chciałbym przywołać jego wcześniejszy manifest filozoficzny. Chociaż później sparafrazował go w przedmowie do pracy z 1913 roku2, zwrócono na niego uwagę, dopiero gdy został zacytowany w pierwszej (francuskiej) wersji niniejszego szkicu. Sam dowiedziałem się o nim zbyt późno, aby mógł wywrzeć znaczny wpływ na moją pracę, ale stanowił dla mnie bodziec do działania wtedy, kiedy tego potrzebowałem, a wymowność jego argumentu jest stale aktualna.

„Powszechnie wiadomo, że dobry nauczyciel, zanim poda rygorystyczną definicję nieskończoności, pokazuje swoim uczniom, że posiadają już pewną ideę leżącą u podłoża tego pojęcia. Rysuje dobrze zdefiniowaną krzywą i mówi, trzymając linijkę: «Widzicie, że w każdym punkcie jest styczna». Albo inaczej: aby przekazać pojęcie prawdziwej prędkości poruszającego się przedmiotu w danym punkcie jego trasy, mówi «Widzicie, rzecz jasna, że średnia prędkość pomiędzy dwoma sąsiednimi punktami nie różni się znacząco, ponieważ te punkty w nieskończony sposób są do siebie zbliżone». I wiele umysłów, dostrzegających, że dla znajomo wyglądających ruchów pogląd ten wydaje się prawdziwy, nie dostrzega faktu, że pociąga to za sobą pewne trudności”.

[…]

„Na pierwszy rzut oka rozważanie ogólnych przypadków wydaje się zaledwie ćwiczeniem intelektualnym, tyleż pomysłowym, co sztucznym, wynikającym z pragnienia osiągnięcia absolutnej dokładności w graniczącej ze śmiesznością skali. Ci, którzy słyszą o krzywych bez stycznych czy funkcjach bez pochodnych, myślą zwykle w pierwszej kolejności, że Przyroda nie zawiera w sobie takich komplikacji, ani nawet nie sugeruje ich istnienia”.

„Prawdą jest jednak przeciwne twierdzenie, a logika dociekań matematyków sprawiała, że znajdowali się oni bliżej rzeczywistości niż praktyczne reprezentacje tworzone przez fizyków. Twierdzenie to można zilustrować poprzez rozważenie bez uprzedzeń pewnych danych eksperymentalnych”.

„Rozważmy na przykład jeden z płatków uzyskanych przez zasolenie roztworu mydła. Z daleka jego kontury mogą się wydawać dobrze określone, jednak w miarę przybliżania się do nich, obraz traci na ostrości. Oko nie jest już w stanie dorysować stycznej w każdym punkcie. Linia, która na początku wydawała się zadowalająca, po uważnym przyjrzeniu wydaje się prostopadła lub ukośna. Użycie szkła powiększającego lub mikroskopu utrzymuje nas w dalszej niepewności, ponieważ każde kolejne użycie powiększenia nie przybliża nas bynajmniej do uzyskania ostrego i gładkiego obrazu, który możemy uzyskać, na przykład obserwując powierzchnię stalowej kuli. Jeśli zatem tę ostatnią uznamy za ilustrację klasycznej formy nieskończoności, nasz płatek mógłby w równie logiczny sposób sugerować bardziej ogólne pojęcie ciągłej funkcji bez pochodnych”.

„Musimy pamiętać, że niepewność co do położenia stycznej w danym punkcie krawędzi żadną miarą nie jest taką samą niepewnością, jaką można mieć przy obserwacji mapy Wielkiej Brytanii. Chociaż wyglądałoby to różnie w zależności od skali mapy, zawsze można znaleźć styczną, ponieważ mapa jest konwencjonalnym diagramem. Przeciwnie, istotną cechą naszego płatka i linii wybrzeża jest to, że podejrzewamy, jeszcze nawet bez naocznego potwierdzenia, że w każdej skali mamy do czynienia z takim poziomem komplikacji, który uniemożliwia wykreślenie stycznej”.

„W dalszym ciągu znajdujemy się w dziedzinie rzeczywistości eksperymentalnej, w której obserwujemy pod mikroskopem ruch Browna napędzający małą cząstkę zanurzoną w płynie. Kierunek prostej linii łączącej dwa punkty, które w dwóch krótkich odstępach czasu zajmuje cząsteczka, jest zróżnicowany z absolutną nieregularnością, w miarę jak skraca się odstęp pomiędzy tymi dwoma punktami. Nieuprzedzony obserwator mógłby zatem wyciągnąć wniosek, że ma tutaj do czynienia z funkcją bez pochodnej, a nie z krzywą, względem której możliwe byłoby wykreślenie stycznej”.

[…]

„Jeśli pójść nawet nieco dalej, [można stwierdzić, że] jeśli przypiszemy materii  nieskończenie ziarnistą strukturę utrzymaną w duchu teorii atomistycznej, nasza zdolność do stosowania do rzeczywistoś­ ci ścisłego matematycznego pojęcia  ciągłości znacznie spadnie”.

„Nieskończenie nieciągła materia, ciągły eter upstrzony drobnymi gwiazdkami, również występuje w kosmosie. Istotnie, konkluzja, do której doszliśmy wyżej, może być także wyprowadzona z wyobrażenia sobie sfery, która obejmuje planety, układ słoneczny, gwiazdy i mgławice […]”.

„Przyjmijmy tedy arbitralną, ale nie wewnętrznie sprzeczną hipotezę. Można napotkać przypadki, w których użycie funkcji bez pochodnej byłoby prostsze od stosowania funkcji różniczkowalnej. Kiedy do tego dojdzie, matematyczna analiza nieregularnych kontinuów dowiedzie swojej wartości praktycznej”.

Należy zatem podkreślić, że „na razie ta nadzieja jest zaledwie marzeniem”. […]

PRZESTRZENNA HOMOGENICZNOŚĆ,  SKALOWANIE I SAMOPODOBIEŃSTWO

Uporawszy się na jakiś czas z wymiarami, przygotujmy się na zmierzenie się z zagadnieniem symetrii przez przywołanie faktu, że wykład Euklidesa rozpoczyna się od najprostszych kształtów, takich jak linie, płaszczyzny i przestrzenie. Z kolei z najprostszą fizyką możemy mieć do czynienia, gdy takie wartości jak gęstość, temperatura, ciśnienie czy prędkość są rozdystrybuowane w sposób homogeniczny.

Dystrybucja homogeniczna na linii, płaszczyźnie czy w przestrzeni ma dwie godne pożądania właściwości. Jest niezmienna pod względem przesunięcia oraz niezmienna pod względem zmiany skali. Kiedy przeniesiemy się do fraktali, obie te niezmienności muszą ulec modyfikacji lub zostać doprecyzowane warunkami ograniczającymi ich zakres. Dlatego też najlepsze fraktale to te, które przejawiają maksimum niezmienności.

Jeżeli chodzi o przesunięcie, to różne części ruchu Browna nigdy nie mogą być na siebie dokładnie nałożone, jak to ma miejsce w wypadku dwóch równych części prostej. Tym niemniej, części te mogą być na siebie nałożone w sensie statystycznym. Niemal wszystkie fraktale, którymi zajmuję się w niniejszej pracy, są do pewnego stopnia niezmienne pod względem przesunięcia.

Ponadto większość fraktali jest niezmienna pod względem pewnych przekształceń związanych ze skalą. Są nazywane skalowanymi. Fraktalny inwariant w ramach zwykłego geometrycznego podobieństwa jest określany mianem samopodobnego.

W wyrażeniu „fraktale skalowane” imiesłów ma służyć złagodzeniu rzeczownika. Podczas gdy fraktal, termin podstawowy, wskazuje na nieporządek i kryje przypadki trudnych do rozwiązania nieregularności, określenie „skalowane” wskazuje na pewnego rodzaju porządek. Alternatywnie, jeśli wziąć „skalowane” jako główny człon wskazujący na ścisły porządek, dodanie do niego terminu „fraktal” wykluczy linie i płaszczyzny.

Nie należy rozumieć opacznie motywacji stojącej za przyjęciem homogeniczności i skalowania. Tutaj, podobnie jak w standardowej geometrii przyrody, nikt nie wierzy, że świat jest ściśle homogeniczny czy skalowany. Standardowa geometria bada proste linie jako punkt wyjścia. Podobnie w wypadku mechaniki, dla której ruch jednostajny prostoliniowy jest zaledwie pierwszym krokiem.

To samo jest prawdą w odniesieniu do skalowanych fraktali, z tą jednak różnicą, że pierwszy krok zajmuje więcej czasu, ponieważ prosta została zastąpiona przez wiele różnych możliwości, spośród których mogę tutaj przedstawić jedynie pewne próbki. Nie należy się zatem dziwić, że skalowane fraktale powinny być ograniczone do tworzenia pierwszych przybliżeń naturalnych kształtów. Zamiast tego, należy się raczej zdumiewać tym, że te pierwsze aproksymacje są tak uderzająco sensowne.

W tym miejscu warto zauważyć, że samopodobieństwo jest dosyć starą ideą. Dla linii została ona sformułowana przez Gottfrieda Wilhelma Leibniza około roku 1700, zaś jej uogólnienie, wykraczające poza linie i płaszczyzny, liczy sobie niemal sto lat, chociaż jego zasadnicze znaczenie nie zostało docenione aż do momentu powstania niniejszego studium. Samopodobieństwo nie jest również niczym nowym na gruncie nauki: w roku 1926 Lewis F. Richardson postulował, że turbulencja w różnych skalach daje się rozkładać na samopodobne wiry. Ponadto bardzo ważne konsekwencje analityczne tej koncepcji na gruncie mechaniki wyciągnął w roku 1941 Kolmogorov, zaś analityczne aspekty skalowania w fizyce wiązane są z pojęciem grupy renormalizacyjnej. Tym niemniej poprzednik niniejszego studium z roku 1975 był pierwszą rozprawą, w której podjęta została kwestia  geometrycznych aspektów niestandardowego skalowania w przyrodzie.

„SYMETRIE” POZA SKALOWANIEM

Po rozprawieniu się z liniami, Euklides zabiera się za kształty o bogatszych właściwościach pod względem inwariancji, zwykle określane mianem „symetrii”. Samomapujące się, ale nieskalujące fraktale są blisko związane z niektórymi spośród najbardziej wyrafinowanych i najtrudniejszych obszarów „twardej” klasycznej analizy matematycznej. Wbrew pogłoskom, jakoby analiza była suchym przedmiotem, fraktale analizowane na jej gruncie są zdumiewająco piękne.

SYNDROMY ROZBIEŻNOŚCI

Niemal każde studium przypadku, jakie tutaj wykonujemy, wiąże się z syndromem rozbieżności. Oznacza to, że wielkość, względem której oczekuje się, aby była pozytywna i skończona, okazuje się albo nieskończona, albo znika. Na pierwszy rzut oka takie zachowanie wydaje się dziwaczne lub nawet przerażające, jednak uważna analiza pokazuje, że jest ono akceptowalne – przynajmniej tak długo, jak długo chce się używać nowych sposobów myślenia.

Przypadki, w których symetrii towarzyszy rozbieżność, są również znane na gruncie fizyki kwantowej, w ramach której honorowe miejsce zajmują różne argumenty za eliminacją rozbieżności. Na szczęście różne rozbieżności fraktalne są o wiele łatwiejsze w obsłudze.

TŁUMACZENIE Z ANGIELSKIEGO:  MICHAŁ CHOPTIANY

Benoît B. Mandelbrot (1924–2010) – francuski  matematyk. Zajmował się szerokim zakresem pro blemów matematycznych, znany jest przede wszystkim jako ojciec geometrii fraktalnej,  opisał zbiór  Mandelbrota oraz wymyślił samo słowo „fraktal”. Pracował w Centre National de la Recherche Scientifique w Paryżu, a następnie na Uniwersytecie w Lille. Od 1957 zatrudniony w USA przez firmę IBM. Na emeryturze był Sterling Professor of Mathematical Sciences na University of Yale. W 1993 został uhonorowany Nagrodą Wolfa w fizyce, a w 2003 prestiżową Nagrodą Japońską. Otrzymał 16 tytułów doktora honoris causa.

fraktal ( z łac. fractus – złamany, cząstkowy, ułamkowy) to zazwyczaj obiekt samo-­podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo „nieskończenie subtelny” (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Fraktalem współcześnie matematycy nazywają zbiór, który posiada takie cechy jak: ma nietrywialną strukturę w każdej skali, jego struktura nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej, jest samo­-podobny, jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar topologiczny, ma względnie prostą definicję rekurencyjną, ma naturalny (poszarpany, kłębiasty) wygląd.

Publikujemy wybór fragmentów  z książki Benoît Mandelbrota  The Fractal Geometry of Nature,  New York: W.H. Freeman and Company, 1983. Dziękujemy Pani Aliette Mandelbrot za zgodę na przedruk tekstu.