Fot. Wikimedia Commons CC BY-SA 3.0

Organiczność

4 [55] 2016

15 | 04 | 2017

Fraktalna geometria przyrody

Dlaczego geometrię opisuje się często jako „zimną” lub „suchą”? Jednym z powodów jest jej niezdolność do opisania chmury, góry, linii wybrzeża czy drzewa. Chmury nie są kulami, a góry stożkami, wybrzeże to nie okrąg, gałąź nie jest gładka, piorun zaś nie przebiega po linii prostej.

Ogólnie rzecz ujmując, twierdzę, że wiele wzorców, które odnajdujemy w przyrodzie, jest tak nieregularnych i fragmentarycznych, że w porównaniu z Euklidesem – za pomocą tego terminu odnoszę się tutaj do standardowej geometrii – przyroda przejawia nie tylko wyższy, ale przede wszystkim zupełnie inny poziom złożoności. Liczba różnych skali i rozmiarów naturalnych wzorów jest z praktycznych powodów nieskończona.

Istnienie tych wzorów stanowi dla nas wezwanie do studiowania form, które Euklides zostawia z boku, uznając je za „bezforemne”, do badania morfologii właśnie tego, co „amorficzne”. Matematycy lekceważyli dotąd to wyzwanie i stopniowo dokonywali wyboru odwrócenia się od przyrody, tworząc teorie niezwiązane z tym, co możemy zobaczyć lub poczuć.

Odpowiadając na to wyzwanie, stworzyłem i rozwinąłem nową geometrię i zastosowałem ją w pewnej liczbie różnych dziedzin. Opisuje ona wiele spośród nieregularnych i sfragmentaryzowanych wzorców wokół nas i prowadzi do w pełni rozwiniętych teorii poprzez zidentyfikowanie rodziny kształtów, które określam mianem fraktali. Najbardziej przydatne fraktale wiążą się z przypadkiem, a ich regularności i nieregularności mają podłoże statystyczne. Ponadto kształty opisane tutaj mają możliwość skalowania, co oznacza, że stopień ich nieregularności i/lub fragmentaryzacji jest taki sam w każdej skali. Pojęcie fraktalnego wymiaru odgrywa w niniejszej koncepcji rolę kluczową.

Niektóre zbiory fraktali są krzywiznami lub powierzchniami, inne są niepowiązanymi z sobą „pyłkami”, inne z kolei są tak dziwnie ukształtowane, że zarówno na gruncie nauki, jak i sztuki nie da się znaleźć określeń, które pozwalałyby je opisać.

„FRAKTAL” I INNE NEOLOGIZMY

Łacińskie powiedzenie głosi: nazywać znaczy poznać – nomen est numen. Dopóki nie zająłem się tymi zbiorami, nie były one na tyle ważne, aby wymagały odrębnego terminu, który by się do nich odnosił. W miarę jednak jak klasyczne monstra były w toku moich działań pozbawiane kłów i ujarzmiane, a na ich miejsce pojawiały się nowe, oczywista stała się potrzeba wynalezienia dla nich nazwy. Stała się ona wręcz paląca, kiedy poprzednik niniejszego studium musiał zostać zatytułowany.

Termin „fraktal” ukułem na podstawie łacińskiego przymiotnika fractus. Związany z nim łaciński czasownik frangere znaczy „łamać”, czyli tworzyć nieregularne fragmenty. Wydaje się zatem czymś sensownym – i jakże odpowiednim dla naszych potrzeb! – że poza „sfragmentaryzowanym” (jak we „frakcji” czy „refrakcji”), fractus oznacza również „nieregularny”, które to oba znaczenia zachowane są w wyrazie „fragment”.

Prawidłowa wymowa to „frak’tal”, a akcent pada jak w wyrazie „frak’cja”.

Wyrażenie „zbiór fraktalny” zostanie ściśle zdefiniowane w dalszej części pracy, natomiast wyrażenie „fraktal naturalny” będzie mi służyć do luźnego odwoływania się do naturalnych wzorów, które można reprezentować za pomocą zbioru fraktalnego. Dla przykładu: krzywe Browna są zbiorami fraktali, a fizyczne ruchy Browna są fraktalem naturalnym.

(Ponieważ słowo „algebra” wywodzi się z arabskiego dżabara, co znaczy „wiązać z sobą”, oznacza to, że „fraktal” i „algebra” stanowią dla siebie etymologiczne przeciwieństwa!)

Bardziej ogólnie rzecz ujmując, w moich podróżach przez nowo otwarte i nowo wyznaczone terytorium musiałem często korzystać z prawa nadawania nazw punktom orientacyjnym. Zazwyczaj lepszym rozwiązaniem wydawało się uważne tworzenie neologizmu niż dodawanie nowego smaczku do (nad-­)używanego i już istniejącego terminu.

Należy przy tym pamiętać, że potoczne znaczenie danego słowa jest często tak mocno osadzone, że nie da się go wyrugować nawet przez usilne próby redefinicji. Jak zauważył Wolter w roku 1730, „gdyby Newton nie użył słowa «atrakcja», wszyscy członkowie Akademii [Francuskiej] otworzyliby szeroko oczy, jednak niestety użył w Londynie takiego słowa, które Paryż wiązał ze śmiesznością”. To właśnie dlatego przerażające wydają się zdania takie jak „prawdopodobieństwo dystrybucji według teorii dystrybucji Schwartza jest przestrzennie względne w stosunku do dystrybucji galaktyk”.

Terminy zaproponowane w tym opracowaniu pozwalają uniknąć tego problemu dzięki wykorzystaniu zapomnianych łacińskich lub greckich rdzeni, na przykład trema, i rzadko zapożyczanych solidnych słów odnoszących się do takich dziedzin, jak sklep, dom czy gospodarstwo wiejskie. Domowe nazwy sprawiają, że monstra stają się łatwiejsze do poskromienia! Na przykład: nadaję techniczne znaczenie „pyłowi” (dust), „zsiadłemu mleku” (curd) i „serwatce” (whey), opowiadam się również za „wykafelkowaniem” (pertiling) jako całkowitej, dokonanej („wy-­”/„per-­”) formie „kafelkowania”.

„Wszelkie piękno jest względne […]. Nie powinniśmy […] wierzyć, że brzegi oceanu są rzeczywiście zdeformowane, ponieważ nie mają kształtu regularnego bulwaru; ani że chmury są bezkształtne, ponieważ nie mają precyzyjnej formy piramid czy stożków; ani że gwiazdy zostały umieszczone w sposób nieumiejętny, ponieważ nie znajdują się wszystkie w równej odległości od siebie. Nie są to nieregularności naturalne, tylko wynik naszych upodobań; nie są również niewygodne do użytku w życiu, ani nie stanowią rezultatu projektowej działalności człowieka na ziemi”. Ta opinia siedemnastowiecznego uczonego Richarda Bentleya (której echo stanowią słowa otwierające niniejszy szkic) pokazuje, że łączenie z sobą linii wybrzeża, gór i wzorów na niebie i przeciwstawianie ich Euklidesowi jest bardzo starym pomysłem.