Fot. Wikimedia Commons CC BY-SA 3.0

Organiczność

4 [55] 2016

15 | 04 | 2017

Fraktalna geometria przyrody

PRZESTRZENNA HOMOGENICZNOŚĆ,  SKALOWANIE I SAMOPODOBIEŃSTWO

Uporawszy się na jakiś czas z wymiarami, przygotujmy się na zmierzenie się z zagadnieniem symetrii przez przywołanie faktu, że wykład Euklidesa rozpoczyna się od najprostszych kształtów, takich jak linie, płaszczyzny i przestrzenie. Z kolei z najprostszą fizyką możemy mieć do czynienia, gdy takie wartości jak gęstość, temperatura, ciśnienie czy prędkość są rozdystrybuowane w sposób homogeniczny.

Dystrybucja homogeniczna na linii, płaszczyźnie czy w przestrzeni ma dwie godne pożądania właściwości. Jest niezmienna pod względem przesunięcia oraz niezmienna pod względem zmiany skali. Kiedy przeniesiemy się do fraktali, obie te niezmienności muszą ulec modyfikacji lub zostać doprecyzowane warunkami ograniczającymi ich zakres. Dlatego też najlepsze fraktale to te, które przejawiają maksimum niezmienności.

Jeżeli chodzi o przesunięcie, to różne części ruchu Browna nigdy nie mogą być na siebie dokładnie nałożone, jak to ma miejsce w wypadku dwóch równych części prostej. Tym niemniej, części te mogą być na siebie nałożone w sensie statystycznym. Niemal wszystkie fraktale, którymi zajmuję się w niniejszej pracy, są do pewnego stopnia niezmienne pod względem przesunięcia.

Ponadto większość fraktali jest niezmienna pod względem pewnych przekształceń związanych ze skalą. Są nazywane skalowanymi. Fraktalny inwariant w ramach zwykłego geometrycznego podobieństwa jest określany mianem samopodobnego.

W wyrażeniu „fraktale skalowane” imiesłów ma służyć złagodzeniu rzeczownika. Podczas gdy fraktal, termin podstawowy, wskazuje na nieporządek i kryje przypadki trudnych do rozwiązania nieregularności, określenie „skalowane” wskazuje na pewnego rodzaju porządek. Alternatywnie, jeśli wziąć „skalowane” jako główny człon wskazujący na ścisły porządek, dodanie do niego terminu „fraktal” wykluczy linie i płaszczyzny.

Nie należy rozumieć opacznie motywacji stojącej za przyjęciem homogeniczności i skalowania. Tutaj, podobnie jak w standardowej geometrii przyrody, nikt nie wierzy, że świat jest ściśle homogeniczny czy skalowany. Standardowa geometria bada proste linie jako punkt wyjścia. Podobnie w wypadku mechaniki, dla której ruch jednostajny prostoliniowy jest zaledwie pierwszym krokiem.

To samo jest prawdą w odniesieniu do skalowanych fraktali, z tą jednak różnicą, że pierwszy krok zajmuje więcej czasu, ponieważ prosta została zastąpiona przez wiele różnych możliwości, spośród których mogę tutaj przedstawić jedynie pewne próbki. Nie należy się zatem dziwić, że skalowane fraktale powinny być ograniczone do tworzenia pierwszych przybliżeń naturalnych kształtów. Zamiast tego, należy się raczej zdumiewać tym, że te pierwsze aproksymacje są tak uderzająco sensowne.

W tym miejscu warto zauważyć, że samopodobieństwo jest dosyć starą ideą. Dla linii została ona sformułowana przez Gottfrieda Wilhelma Leibniza około roku 1700, zaś jej uogólnienie, wykraczające poza linie i płaszczyzny, liczy sobie niemal sto lat, chociaż jego zasadnicze znaczenie nie zostało docenione aż do momentu powstania niniejszego studium. Samopodobieństwo nie jest również niczym nowym na gruncie nauki: w roku 1926 Lewis F. Richardson postulował, że turbulencja w różnych skalach daje się rozkładać na samopodobne wiry. Ponadto bardzo ważne konsekwencje analityczne tej koncepcji na gruncie mechaniki wyciągnął w roku 1941 Kolmogorov, zaś analityczne aspekty skalowania w fizyce wiązane są z pojęciem grupy renormalizacyjnej. Tym niemniej poprzednik niniejszego studium z roku 1975 był pierwszą rozprawą, w której podjęta została kwestia  geometrycznych aspektów niestandardowego skalowania w przyrodzie.

„SYMETRIE” POZA SKALOWANIEM

Po rozprawieniu się z liniami, Euklides zabiera się za kształty o bogatszych właściwościach pod względem inwariancji, zwykle określane mianem „symetrii”. Samomapujące się, ale nieskalujące fraktale są blisko związane z niektórymi spośród najbardziej wyrafinowanych i najtrudniejszych obszarów „twardej” klasycznej analizy matematycznej. Wbrew pogłoskom, jakoby analiza była suchym przedmiotem, fraktale analizowane na jej gruncie są zdumiewająco piękne.

SYNDROMY ROZBIEŻNOŚCI

Niemal każde studium przypadku, jakie tutaj wykonujemy, wiąże się z syndromem rozbieżności. Oznacza to, że wielkość, względem której oczekuje się, aby była pozytywna i skończona, okazuje się albo nieskończona, albo znika. Na pierwszy rzut oka takie zachowanie wydaje się dziwaczne lub nawet przerażające, jednak uważna analiza pokazuje, że jest ono akceptowalne – przynajmniej tak długo, jak długo chce się używać nowych sposobów myślenia.

Przypadki, w których symetrii towarzyszy rozbieżność, są również znane na gruncie fizyki kwantowej, w ramach której honorowe miejsce zajmują różne argumenty za eliminacją rozbieżności. Na szczęście różne rozbieżności fraktalne są o wiele łatwiejsze w obsłudze.

TŁUMACZENIE Z ANGIELSKIEGO:  MICHAŁ CHOPTIANY


Benoît B. Mandelbrot (1924–2010) – francuski  matematyk. Zajmował się szerokim zakresem pro blemów matematycznych, znany jest przede wszystkim jako ojciec geometrii fraktalnej,  opisał zbiór  Mandelbrota oraz wymyślił samo słowo „fraktal”. Pracował w Centre National de la Recherche Scientifique w Paryżu, a następnie na Uniwersytecie w Lille. Od 1957 zatrudniony w USA przez firmę IBM. Na emeryturze był Sterling Professor of Mathematical Sciences na University of Yale. W 1993 został uhonorowany Nagrodą Wolfa w fizyce, a w 2003 prestiżową Nagrodą Japońską. Otrzymał 16 tytułów doktora honoris causa.

fraktal ( z łac. fractus – złamany, cząstkowy, ułamkowy) to zazwyczaj obiekt samo-­podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo „nieskończenie subtelny” (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Fraktalem współcześnie matematycy nazywają zbiór, który posiada takie cechy jak: ma nietrywialną strukturę w każdej skali, jego struktura nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej, jest samo­-podobny, jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar topologiczny, ma względnie prostą definicję rekurencyjną, ma naturalny (poszarpany, kłębiasty) wygląd.

Publikujemy wybór fragmentów  z książki Benoît Mandelbrota  The Fractal Geometry of Nature,  New York: W.H. Freeman and Company, 1983. Dziękujemy Pani Aliette Mandelbrot za zgodę na przedruk tekstu.