Fot. Wikimedia Commons CC BY-SA 3.0

Organiczność

4 [55] 2016

15 | 04 | 2017

Fraktalna geometria przyrody

OD PIÓRA DO JEANA PERRINA

W dalszej kolejności przysłuchajmy się głosowi nieco mniej odległemu w czasie, a zarazem bliższemu naszej profesji. Aby przejść do nieregularnego czy fragmentaryzowanego charakteru linii brzegowej, trajektorii Browna czy innych wzorów przyrody badanych w niniejszym studium, chciałbym się najpierw odwołać do fragmentów rozprawy Jeana Perrina z 1906 roku1. Późniejsza praca Perrina na temat ruchów Browna zapewniła mu Nagrodę Nobla i przyczyniła się do rozwoju teorii prawdopodobieństwa. Tutaj jednak chciałbym przywołać jego wcześniejszy manifest filozoficzny. Chociaż później sparafrazował go w przedmowie do pracy z 1913 roku2, zwrócono na niego uwagę, dopiero gdy został zacytowany w pierwszej (francuskiej) wersji niniejszego szkicu. Sam dowiedziałem się o nim zbyt późno, aby mógł wywrzeć znaczny wpływ na moją pracę, ale stanowił dla mnie bodziec do działania wtedy, kiedy tego potrzebowałem, a wymowność jego argumentu jest stale aktualna.

„Powszechnie wiadomo, że dobry nauczyciel, zanim poda rygorystyczną definicję nieskończoności, pokazuje swoim uczniom, że posiadają już pewną ideę leżącą u podłoża tego pojęcia. Rysuje dobrze zdefiniowaną krzywą i mówi, trzymając linijkę: «Widzicie, że w każdym punkcie jest styczna». Albo inaczej: aby przekazać pojęcie prawdziwej prędkości poruszającego się przedmiotu w danym punkcie jego trasy, mówi «Widzicie, rzecz jasna, że średnia prędkość pomiędzy dwoma sąsiednimi punktami nie różni się znacząco, ponieważ te punkty w nieskończony sposób są do siebie zbliżone». I wiele umysłów, dostrzegających, że dla znajomo wyglądających ruchów pogląd ten wydaje się prawdziwy, nie dostrzega faktu, że pociąga to za sobą pewne trudności”.

[…]

„Na pierwszy rzut oka rozważanie ogólnych przypadków wydaje się zaledwie ćwiczeniem intelektualnym, tyleż pomysłowym, co sztucznym, wynikającym z pragnienia osiągnięcia absolutnej dokładności w graniczącej ze śmiesznością skali. Ci, którzy słyszą o krzywych bez stycznych czy funkcjach bez pochodnych, myślą zwykle w pierwszej kolejności, że Przyroda nie zawiera w sobie takich komplikacji, ani nawet nie sugeruje ich istnienia”.

„Prawdą jest jednak przeciwne twierdzenie, a logika dociekań matematyków sprawiała, że znajdowali się oni bliżej rzeczywistości niż praktyczne reprezentacje tworzone przez fizyków. Twierdzenie to można zilustrować poprzez rozważenie bez uprzedzeń pewnych danych eksperymentalnych”.

„Rozważmy na przykład jeden z płatków uzyskanych przez zasolenie roztworu mydła. Z daleka jego kontury mogą się wydawać dobrze określone, jednak w miarę przybliżania się do nich, obraz traci na ostrości. Oko nie jest już w stanie dorysować stycznej w każdym punkcie. Linia, która na początku wydawała się zadowalająca, po uważnym przyjrzeniu wydaje się prostopadła lub ukośna. Użycie szkła powiększającego lub mikroskopu utrzymuje nas w dalszej niepewności, ponieważ każde kolejne użycie powiększenia nie przybliża nas bynajmniej do uzyskania ostrego i gładkiego obrazu, który możemy uzyskać, na przykład obserwując powierzchnię stalowej kuli. Jeśli zatem tę ostatnią uznamy za ilustrację klasycznej formy nieskończoności, nasz płatek mógłby w równie logiczny sposób sugerować bardziej ogólne pojęcie ciągłej funkcji bez pochodnych”.

„Musimy pamiętać, że niepewność co do położenia stycznej w danym punkcie krawędzi żadną miarą nie jest taką samą niepewnością, jaką można mieć przy obserwacji mapy Wielkiej Brytanii. Chociaż wyglądałoby to różnie w zależności od skali mapy, zawsze można znaleźć styczną, ponieważ mapa jest konwencjonalnym diagramem. Przeciwnie, istotną cechą naszego płatka i linii wybrzeża jest to, że podejrzewamy, jeszcze nawet bez naocznego potwierdzenia, że w każdej skali mamy do czynienia z takim poziomem komplikacji, który uniemożliwia wykreślenie stycznej”.

„W dalszym ciągu znajdujemy się w dziedzinie rzeczywistości eksperymentalnej, w której obserwujemy pod mikroskopem ruch Browna napędzający małą cząstkę zanurzoną w płynie. Kierunek prostej linii łączącej dwa punkty, które w dwóch krótkich odstępach czasu zajmuje cząsteczka, jest zróżnicowany z absolutną nieregularnością, w miarę jak skraca się odstęp pomiędzy tymi dwoma punktami. Nieuprzedzony obserwator mógłby zatem wyciągnąć wniosek, że ma tutaj do czynienia z funkcją bez pochodnej, a nie z krzywą, względem której możliwe byłoby wykreślenie stycznej”.

[…]

„Jeśli pójść nawet nieco dalej, [można stwierdzić, że] jeśli przypiszemy materii  nieskończenie ziarnistą strukturę utrzymaną w duchu teorii atomistycznej, nasza zdolność do stosowania do rzeczywistoś­ ci ścisłego matematycznego pojęcia  ciągłości znacznie spadnie”.

„Nieskończenie nieciągła materia, ciągły eter upstrzony drobnymi gwiazdkami, również występuje w kosmosie. Istotnie, konkluzja, do której doszliśmy wyżej, może być także wyprowadzona z wyobrażenia sobie sfery, która obejmuje planety, układ słoneczny, gwiazdy i mgławice […]”.

„Przyjmijmy tedy arbitralną, ale nie wewnętrznie sprzeczną hipotezę. Można napotkać przypadki, w których użycie funkcji bez pochodnej byłoby prostsze od stosowania funkcji różniczkowalnej. Kiedy do tego dojdzie, matematyczna analiza nieregularnych kontinuów dowiedzie swojej wartości praktycznej”.

Należy zatem podkreślić, że „na razie ta nadzieja jest zaledwie marzeniem”. […]


[1.] J. Perrin, La discontinuité de la matière, „Revue du Mois” 1906, 1, s. 323–344.
[2.] Tegoż, Les Atomes, Paris: Alcan, 1913.